МОДЕЛИ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ ВС
В тех случаях, когда для исследуемой системы (подсистемы, элемента) допускаются лишь два возможных состояния — полной работоспособности и полного отказа, функционирование системы моделируется с помощью булевой алгебры (75]. При этом состояния системы и каждого элемента достаточно просто описываются с помощью булевых переменных, которые принимают значения 1 в случае работоспособности и 0 в случае отказа. Надежность систем, поведение которых можно во времени интерпретировать как случайный процесс {z(f), 0} с конечным мно
жеством состояний М — {га, z2, …, zm} и непрерывной областью изменения параметра, целесообразно исследовать с помощью 2—822 ‘ 17
марковских моделей. Напомним, что свойство марковости заключается в том, что будущее поведение процесса не зависит от его прошлого, а определяется лишь настоящим.
Границы применения булевых и марковских моделей надежности рассмотрим отдельно, чтобы помочь читателям при выборе иных способов формализации.
Булевые модели. Положим, что система состоит ‘из п элементов, при этом і-му элементу соответствует булева переменная Хі, допустимыми реализациями которой являются числа 1 и 0. Тогда
1, если і-й элемент функционирует; 0, если 1-й элемент отказал,
где £=1, 2, …, п.
Булева функция определит состояние системы при помощи структурной функции работоспособности системы переменных Хи х2, …. хп, которую можно задать в виде ’
1, если система функционирует; 0, если система отказала.
Работоспособность или отказ системы определяется состояниями ее элементов. Существуют два предельных случая: одновременный отказ всех элементов (система отказывает) и одновременное функционирование всех элементов (система функционирует) . Остальные случаи предполагают выполнение свойства монотонности, которое заключается в следующем: если система функционирует, когда отказало подмножество Мі ее элементов (остальное множество Mi элементов функционирует), то система обязана функционировать и в том случае, когда отказало лишь подмножество М2<^М элементов [19].
Изложенные состояния системы при функционировании или отказе всех ее элементов с учетом свойства монотонности можно записать так:
S(l, .., 1)=1; SCO, …. 0)=О;
Sp-1!, …. Xі п) <S (■*?!, …. х2п),
если выполняется условие Х1І < х2і i= 1, 2, …., п.
В качестве вычислительных операций над булевыми — .переменными Хи х2, …, хп применяют булево сложение—(дизъюнкция) И булево умножение (конъюнкция). •
При условии, что обе возможные реализации булевой, переменной фиксируются только числами 0 и 1, булево сложение и умножение можно заменить алгебраическими операциями. Операции сложения И умножения В булевой алгебре ДЛЯ: — всех 2га реализаций булева вектора (хі, х2, хп) представлены в. табл. 1.2.
Булевы переменные |
11 Л X/ i=1 1 |
||||||
Номер операции |
Л*1 |
-V2 |
■ ХП — 1 |
Хп |
.11 V X/ i=1 1 |
||
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
2П—2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
2П-—1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из таблицы можно вывести следующие соотношения: п п Д xi = П Xi = min(xi………………….. Хп); i=l i=l |
V xi = 1 — П (1 — л:і) = max(xi, хп).
і = і / = 1
Для краткости анализа бывает целесообразно при построении моделей наряду с булевой переменной х рассматривать переменную х, которая является отрицанием х. Переменная х определяется в той же области значений, что и х. Из принятого определения ясно, что реализации х и х не должны совпадать. Поскольку реализации булевых переменных есть числа 0 и 1, то А’=1—х. Для краткости в дальнейшем используем векторную форму записи. Условимся, что х = {хх, х2, …, хп)т является булевым вектор-столбцом с п элементами. Здесь индекс Т означает операцию транспонирования. В частности, можно записать:
1_ = -(1, …, 1Д; 0= (0, …, ОД.
Наряду с функцией работоспособности S (х) =S(xі, …, хп) рассмотрим структурную функцию отказа S (х). Она определяется. любым из двух эквивалентных выражений:
S (х) = 1 — S (х), или S{x) = 1 — S (х).
Сложные системы целесообразно разбивать на подсистемы, которые графически представляются в виде последовательного или параллельного соединения элементов. Структура, представленная на рис. 1.3, а, применима к такому классу систем, которые работоспособны только’ тогда, когда все п элементов ее работоспособны. Система отказывает, если отказывает хотя бы один из ее элементов. Для такой структуры можно записать 2* J9
1.3. Последовательное (а) и параллельное (б) соединение элементов |
следующие аналитические выражения функций работоспособности и отказа соответственно: ■
п
S(x) = Хп) = Л Xi =
*— < = і
71 _ П
= 1 — V = П Xi
І = 1 1 = 1
S(x) = max(^i, …. Xn) = V =
— t=i
n n
= 1 — Д я,- = 1 — П Xi.
i = i i — i
Структура, представленная на риє. 1.3,6, работоспособна* если работоспособен хотя бы один из ее п элементов. Система) отказывает только тогда, когда отказывают все п ее элементов. Эти условия запишем следующим образом:
71
S(a’) = max (at, …. Хп) = V Xt = — "
і = і
1 — П xt;
S(X) = ШІПІХЧ, …. Хп) = 1 — V Xi = П Xi.
— i=i <=i
Наиболее известные методы анализа надежности — это методы узлов и замкнутых контуров ![19]. Целесообразнее выбрать метод, при котором наименьший объем вычислений. Объем вычислений можно сократить, объединив несколько компонент в. одну ветвь. Для метода узлов рекомендуется объединение компонент, расположенных последовательно друг за другом, а для метода контуров — параллельно.
Деревья отказов. Они позволяют наглядно представить характер изменения надежности технической системы, воспользовавшись ориентированными графами со структурой в виде дерева. Для такой структуры характерно наличие главного события 0, наступление которого соответствует отказу системы. При построении и анализе графа рассматривают причины появления события 0 и приходят к установлению событий, которые рассматриваются как основные и далее градации не подлежат.
Проанализируем работоспособность достаточно простой аварийной системы выпуска шасси на самолете Ил-86. Система состоит из ручного привода (рукоятки управления) и тросовой проводки, присоединенной к замкам убранного положения стоек шасси. Главное событие 0 заключается в отказе системы,, когда при ее использовании выпуск шасси не происходит. Дерево отказов (рис. 1.4, а) для основных событий и упрощенное дерево отказов (рис. 1.4,6) могут быть представлены как структурная схема надежности системы (рис. 1.4, в).
При помощи деревьев отказов можно переходить к рассмотрению структурных схем надежности и далее отыскивать булевы функции работоспособности системы.
1.4. Дерева отказов системы аварийного выпуска шасси: О — шасси не выпускается: _/ — недостаточное усилие воздействия на (рукоятку; Ґ — рукоятка не перемещается; 2 — неправильное использование предохранительной защел— ки; 2′ ■— свободное перемещение рукоятки; 3 — обрыв тросса; з’ — заклинивание тросса; 4 — заклинивание — проводки; 4′ — заклинивание замка; 1— искривление (износ) рабочей.? поверхности замка; S’— попадание посторонних предметов; ЇГ—образование льда на рабочей поверхности замка |
Для определения булевых функций с помощью деревьев отказов можно использовать метод минимальных сечений и минимальных путей ][13, 19], основанный на анализе логических свят зей типа «И» и «ИЛИ», как наиболее простой.
Модели отказов с восстановлением. Модель, представленную в предыдущем подразделе, можно использовать в более общем случае’, если рассматривать отказы элементов как функцию времени. Для невосстанавливаемых систем состояние ‘1-го элемента молено рассматривать как случайный процесс Xi(t), который •связан с наработкой Т* следующей зависимостью:
При восстановлении отказавшего У3-,*-го элемента требуется время на отыскание и устранение дефекта. В общем случае для процесса Xi(t), когда (1=1, 2, …, п), можно записать:
пг — 1 /71 — 1
Г 1, если 2 (Tt, і + Yj-i) <1< 2 (Ті, і + У/,,-) + Тт, ї, x(t) = /=‘ (1.39)
(0, в противном случае.
Графически реализацию случайного процесса ху(1), где ij, i и yj, i — реализации случайных величин Tj4 и У,,*, 1=1, 2, …, можно представить рис. 1.5. Если Tj, it j — 2, 3, … и Yj, it 1, 2,… являются независимыми случайными величинами, одинаково распределенными, то случайный процесс (1.39) образует альтернирующий процесс восстановления.
Для оценки надежности элементов восстановлением вместо вероятности безотказной работы 1-го элемента рассматривается такой показатель, как готовность 1-го элемента Vi(t). Он означает, что 1-й элемент исправен в момент времени і. Обозначим через Hi(t) математическое ожидание числа циклов восстановления 1-го элемента. Тогда
Vi(t) = Р(Ти >t) + Ri(t-x)dH,(x), о
где Ri(t — х) — вероятность того, что до момента времени t не было ни одного отказа 1-го элемента, а последний цикл восстановления закончился в момент времени..V.
Если процесс восстановления при t-*-oо имеет стационарные отношения,’ т. е. «устанавливается», то
Если долю времени, в течение которого 1-й элемент внутри интервала (0, if) находится в состоянии отказа, обозначить через ai(f), то математическое ожидание этой случайной величины можно рассчитать, зная показатель готовности:
Е [<*,(/)] = / [l — Vi(x)]dx. о
В стационарных условиях
П. ц£М*)1 _! у_ E(Y)
г^°° t ‘ £(П)+£(Уг) ‘
Переходя от рассмотрения состояния элемента к состояниям системы по аналогии, получим [19]:
v.(f) =S[lM0, …. V„(*)];
У, = 1ітУ»(0 =S(Vi, …. V„);
£[М*)] = J [1 — Vs(x)]dx — о
Urn _
t s’
где ps(i) — доля времени, в течение которого система находится в исправном состоянии.
Марковские модели. Они используются для систем, поведение которых описывается случайным процессом Z(t) с конечным множеством состояний М = (Zi, Z2, …. Zm). Процесс можно охарактеризовать маркированием точек [Si, Z(S* + 0)] для S0 = — 0<C-Si<S2<…, т. е. указанием точек скачков и состояний, в которые после этих скачков попадает система (рис. 1.6, а).
Если пренебречь временем пребывания процесса в определенном состоянии Si, то можно упростить исследование и рассматривать вложенную случайную последовательность {Z{, i=0, 1, 2, …} (рис. 1.6,6).
Если же учитывать не все маркированные точки/а лишь те, для которых Zi принадлежит только определенному (ограниченному) множеству состояний М, то получается вложенный процесс (Z(f), t>0} (рис. 1.6, в).
В теории вероятностей подробно рассматриваются случайные процессы, которые обладают так называемым свойством марковости: будущее поведение процесса не зависит от его прошлого, а определяется лишь его настоящим.
Отсюда следует, что в случае, когда настоящее представляет собой время после t-й (можно 1-й) смены состояния, свойство марковости можно выразить так [19]:
Р{ (Ь <t)A (Zi = Zi) Zo = Zi — 6i = U.. Zi-2 = zh — ■
b-i = U-uZi-i = z,} = P{(E, < 0Л (Zi = Zi) Zt-i = z,}, где /, k, …. / = 1, 2, …, m.
|
|
|
|
|
1.6. Реализация случайного процесса
Необходимо принимать во внимание требование однородности, в соответствии с которым правая часть выражения не должна зависеть от числа шагов, т. е.
Р{Ь < fЛ (Z = Zj) I Z,_t = Z,} = Qj, i (t), где /, / = 1, 2, …, m, (=2, 3 … .
Для вероятностей P{Z(;t) = Zj} = Pj(t) пребывания процесса •в состояниях для любого момента времени t выполняется соотношение
Обозначим через Р, = 0 вероятности начальных состояний и введем для краткости вектор
Pit) = lpi(t), Ра it)………… Pm(t)]T
и матрицы
Q(t) = [<М*)]ы = 1, 2, …. т.
£(<) = [Qij(*)]/.«= 1. 2, …. т,
Тогда, задавая величины
{М, р^О), .(Д*), Q(f); f>0),
можно однозначно определить марковский процесс восстановления. Если множество состояний М включает лишь два состояния (т = 2), то приходим к альтернирующему процессу восстановления. Если матрицы Q (t) и Q (t) совпадают, а длительность пребывания gjпроцесса в определенном состоянии не рассматривается, то марковская цепь однородна.
Такая марковская цепь характеризуется величинами
{М,_р(0), Р_ = (Ры)}.
Если свойство марковости процесса выполняется лишь для подмножествам состояний системы, тогда соответствующий вложенный случайный процесс {Z(t), 0} называется полумарков-
ским. Для обоснованного применения полумарковских моделей необходимы предварительные исследования, состоящие из двух этапов. На первом этапе определяют состояние системы и выявляют временные характеристики, соответствующие процессам восстановления. На втором этапе оценивают моменты переходов: (вложенная цепь) и выявляется наличие марковских свойств. ■ Указанные условия констатируют факт полумарковости процесса и возможность использования полумарковских моделей.
На практике часто возникает необходимость распространить; структуру процесса переходов (матрицу частот переходов) локальной системы на совокупность однотипных систем. Для этого требуется доказать эргодичность процесса на определенном; отрезке времени.
Стохастический процесс называется стационарным, если его: вероятностные характеристики (математическое ожидание, дисперсия, корреляционные моменты) не зависят от момента времени, в котором рассматривается этот процесс [19]. Стохастический процесс называется эргодическим, когда с вероятностью 1 среднее по времени равно среднему по реализации [23]. Стационарный процесс считается эргодическим, если нормированная корреляционная функция стремится к нулю при условии, что и рассматриваемое приращение времени также стремится к’нулю [19, 23].
Применение полумарковских моделей будет рассмотрено в § 3.2 и 3.3 при решении прикладных задач оценки и оптимизации программ ТО и Р.
Границы применения булевых и марковских моделей надежности. Использование булевых ‘моделей обусловлено необходимостью рассмотрения лишь двух состояний элементов системы, а именно состояний отказа и работоспособности.
Структурная схема надежности позволяет выявить несколько возможных реализаций отказов. Но при этом исчезает свойство независимости функционирования элемента относительно всех видов своих отказов. Это один недостаток. Другой заключается в том, что условие монотонности не всегда выполнимо.
Последовательность, в которой отказывают отдельные компоненты системы, играет существенную роль. Невозможность учета временной последовательности отказов элементов также является недостатком булевой модели. Характер отказов отдельных компонентов системы часто зависит от состояния других компонентов, что не учитывается в булевых моделях, так как в них предполагается независимость компонентов.
Теперь рассмотрим недостатки марковских и полумарков — ских моделей. Анализ надежности с использованием марковской модели возможен в том случае, если интенсивности переходов между отдельными состояниями системы являются постоянными величинами. Если интенсивности переходов зависят от времени, то расчеты неоправданно усложняются. Если отдельные интенсивности не известны, то нельзя составить необходимую систему дифференциальных уравнений с зависимыми от времени коэффициентами.
Использование марковской цепи, вложенной в случайный процесс, расширяет возможности использования марковских моделей надежности. Но для однозначного описания марковской цепи необходимо знать число возможных состояний, вектор распределения начальных вероятностей и матрицу вероятности переходов. На практике удобно пользоваться графом состояний и переходов, разметку ребер и вершин производить с помощью матрицы вероятности переходов и вектор-строки стационарных вероятностей. При этом следует убедиться, что поглощающие состояния отсутствуют. А это требует доказательства стационарности и эргодичности процесса (вложенной цепи).
При использовании полумарковских моделей должны выполняться следующие условия:
матрица частот переходов удовлетворяет условиям стохастической или марковской матрицы;
частоты переходов для каждого из состояний зависят от этих состояний и не зависят от более ранних состояний;
вектор абсолютных частот попадания системы в каждое из состояний имеет только стационарные составляющие;
случайные величины времени пребывания системы в различных состояниях имеют функции распределения;
процесс переходов является стационарным и эргодическим на рассматриваемом отрезке времени.